Durchschnitt Rechner

Mittelwert, Median, Modus, Spannweite und Standardabweichung aus einer eingefügten Liste — denn „Durchschnitt“ meint dreierlei, und die drei stimmen selten überein.

Welchen der drei sollten Sie nehmen?

Beim Geld den Median. Immobilienpreise, Gehälter und Mieten sind stets von wenigen riesigen Werten verzerrt, und der Mittelwert wird auf eine Zahl gezogen, die niemand zahlt.
Den Mittelwert, wenn sich die Werte symmetrisch häufen: Noten, Körpergrößen, Tagestemperaturen.
Den Modus für das, was im Kern keine Zahl ist: die häufigste Schuhgröße, der häufigste Liefertag.
Achten Sie auf die Anzahl. Liest der Rechner weniger Werte, als Sie eingefügt haben, ist etwas in Ihrer Liste keine Zahl.

„Durchschnitt“ sind drei verschiedene Wörter

Wer Durchschnitt sagt, meint meist das arithmetische Mittel: alles zusammenzählen und durch die Anzahl teilen. Doch Median und Modus sind ebenfalls Durchschnitte, und in der Statistik heißen alle drei Maße der zentralen Tendenz. Der Median ist der Wert, der nach dem Sortieren in der Mitte steht, der Modus der am häufigsten vorkommende. Bei einem geordneten, symmetrischen Satz liegen alle drei ungefähr gleich, und die Unterscheidung ist gleichgültig. Bei echten Daten, die fast nie geordnet sind, können sie weit auseinanderliegen — und welcher zitiert wird, ist oft eine Entscheidung darüber, welche Geschichte die Zahl erzählen soll.

Wann der Mittelwert lügt

Nehmen Sie fünf Gehälter: 32.000, 35.000, 38.000, 41.000 und 251.000. Der Mittelwert beträgt 79.400, und keine einzige Person in diesem Raum verdient auch nur annähernd so viel. Der Median liegt bei 38.000 und beschreibt die Gruppe ehrlich. Ein einziger Extremwert zog den Mittelwert um mehr als 40.000 nach oben, weil der Mittelwert jedem Wert dasselbe Gewicht gibt, egal wie weit außen er liegt. Den Median zieht niemand: ihn interessiert nur die Position in der sortierten Liste, ein Ausreißer verschiebt ihn also höchstens um einen Platz. Deshalb veröffentlichen Statistikämter das mediane Einkommen und den medianen Immobilienpreis — und deshalb verdient ein Mittelwert ohne Median einen zweiten Blick.

Den richtigen wählen

Einkommen, Vermögen, Immobilienpreise, Mieten: den Median. Diese Verteilungen haben einen langen rechten Ausläufer, und der Mittelwert überzeichnet den typischen Fall stets.
Prüfungsnoten, Körpergrößen, Blutdruck: der Mittelwert taugt, weil sich die Werte ohne extreme Ausläufer um die Mitte häufen.
Warte- und Ladezeiten: Median plus ein hohes Perzentil angeben. Der Mittelwert verdeckt den langsamen Ausläufer, den Nutzer tatsächlich merken.
Kategorien statt Mengen — Schuhgröße, meistbestelltes Gericht: nur der Modus ergibt Sinn.
Über dieselbe Strecke gemittelte Geschwindigkeiten verlangen das harmonische Mittel, nicht dieses. Hin mit 30 km/h und zurück mit 60 ergibt 40, nicht 45.
Wachstumsraten verlangen das geometrische Mittel. Zwei Jahre mit +50 % und −50 % sind nicht 0 %, sondern ein Verlust von 25 %.

Die Standardabweichung und das n−1

Die Standardabweichung sagt, wie weit die Werte üblicherweise vom Mittelwert entfernt liegen. Zwei Sätze können den Mittelwert 50 teilen und sich gar nicht ähneln.
Die Varianz ist die quadrierte Standardabweichung. Mit ihr rechnen die Formeln; die Standardabweichung bringt die Zahl zurück in die ursprüngliche Einheit.
Die Stichproben-Standardabweichung teilt durch n−1, nicht durch n. Das ist die Bessel-Korrektur: eine Stichprobe unterschätzt die Streuung ihrer Grundgesamtheit fast immer.
Die Populationsformel nur nehmen, wenn Ihre Liste wirklich alles ist: die 30 Schüler der Klasse, nicht 30 aus einer Schule mit 900.
Bei kleinen Listen ist der Unterschied groß: bei n=5 hebt das Teilen durch 4 statt 5 das Ergebnis um rund 12 %.
In einer annähernd normalen Verteilung liegen rund 68 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert und 95 % innerhalb von zweien.

Gelöste Beispiele

Dieselbe Idee, zwei sehr verschiedene Antworten

Fünf Noten

88 + 92 + 79 + 95 + 84 = 438
438 ÷ 5 = 87,6 — der Mittelwert
Sortiert: 79, 84, 88, 92, 95 — die Mitte ist 88

Mittelwert 87,6, Median 88 — sie stimmen überein

Fünf Gehälter, ein Ausreißer

32.000 + 35.000 + 38.000 + 41.000 + 251.000 = 397.000
397.000 ÷ 5 = 79.400 — der Mittelwert
Sortiert ist der mittlere Wert 38.000 — der Median

Mittelwert 79.400, Median 38.000 — dem Median trauen

Häufig Gestellte Fragen

Wie berechnet man einen Durchschnitt?

Alle Zahlen addieren und durch ihre Anzahl teilen. Fünf Werte mit der Summe 438 ergeben einen Mittelwert von 87,6. Das ist das arithmetische Mittel; Median und Modus sind ebenfalls Durchschnitte, und dieser Rechner gibt alle drei aus.

Was ist der Unterschied zwischen Mittelwert und Median?

Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch die Anzahl; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Liste. Bei symmetrischen Daten liegen sie nah beieinander. Bei schiefen Daten — Gehälter, Immobilienpreise — wird der Mittelwert zu den Extremen gezogen, der Median bleibt beim typischen Fall.

Wann sollte ich den Median statt des Mittelwerts nehmen?

Immer wenn wenige sehr große oder sehr kleine Werte das Bild verzerren können. Geld ist der Musterfall: ein Gehalt von 251.000 unter vier in den Dreißigern treibt den Mittelwert auf 79.400 — eine Zahl, die niemand verdient. Deshalb melden amtliche Statistiken medianes Einkommen und mediane Preise.

Was, wenn es keinen Modus gibt?

Kommt jeder Wert genau einmal vor, hat der Satz keinen Modus, und dieser Rechner sagt das, statt einen zu erfinden. Sind mehrere Werte gleich häufig, ist der Satz multimodal und alle werden aufgeführt.

Stichprobe oder Grundgesamtheit?

Grundgesamtheit, wenn Ihre Liste wirklich alles ist, was zählt: die 30 Schüler einer Klasse. Stichprobe, wenn sie eine Teilmenge für eine größere Gruppe ist. Die Stichprobenformel teilt durch n−1 und hebt die Standardabweichung leicht an, um die Untertreibung von Stichproben auszugleichen.

Warum stimmt meine Anzahl nicht?

Die Anzahl zeigt, wie viele Zahlen tatsächlich gelesen wurden. Trennzeichen sind Komma, Leerzeichen, Semikolon und Zeilenumbruch, Dezimalstellen brauchen einen Punkt: das Komma gilt als Trennzeichen, „3,5“ wird also als zwei Werte gelesen, drei und fünf.