Bruchrechner

Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren — mit Hauptnenner, gekürztem Ergebnis und gemischter Zahl, nicht nur einer Dezimalzahl.

Referenztabelle

Erster Zähler	Ergebnis	Als gemischte Zahl	Als Dezimalzahl
0,5	7/12	Bereits ein echter Bruch	0,583333
1	5/6	Bereits ein echter Bruch	0,833333
1,5	13/12	1 1/12	1,083333
2	4/3	1 1/3	1,333333
2,5	19/12	1 7/12	1,583333
3	11/6	1 5/6	1,833333
4	7/3	2 1/3	2,333333
5	17/6	2 5/6	2,833333
6	10/3	3 1/3	3,333333
7	23/6	3 5/6	3,833333
8	13/3	4 1/3	4,333333
9	29/6	4 5/6	4,833333
10	16/3	5 1/3	5,333333
12	19/3	6 1/3	6,333333
15	47/6	7 5/6	7,833333

Wo es wirklich hakt

1/2 + 1/3 ist nicht 2/5. Zähler und Nenner lassen sich nicht getrennt addieren: Halbe und Drittel sind unterschiedlich große Stücke, bis man beide auf 6 bringt.
Durch einen Bruch zu teilen vergrößert das Ergebnis. 1/2 ÷ 1/4 = 2, denn in ein Halbes passen zwei Viertel.
Zwei echte Brüche zu multiplizieren verkleinert das Ergebnis immer. Zwei Drittel von einem Halben sind ein Drittel, kein Ganzes.
Ein Zollmaßband läuft in Basis 2: Halbe, Viertel, Achtel, Sechzehntel. Die Nenner sind dort immer Zweierpotenzen, deshalb ist der Hauptnenner leicht.

Ein Bruch ist eine unfertige Division

Drei Viertel heißt drei Dinge auf vier verteilt, und der Strich zwischen den Zahlen ist ein Geteiltzeichen, das niemand ausgeschrieben hat. Diese eine Tatsache löst fast alle Verwirrung um Brüche auf. Sie erklärt, warum der Nenner nie null sein darf: durch nichts zu teilen hat keine Antwort. Sie erklärt, warum 8/4 einfach 2 ist. Und sie erklärt, warum ein Bruch mit größerem Zähler als Nenner, ein unechter Bruch, mathematisch nichts Unechtes hat: 7/4 ist eine völlig gültige Zahl, eineinhalb plus ein Viertel, und unecht daran ist nur, dass ältere Schulbücher die gemischte Form zum Vorlesen bevorzugten.

Warum Addieren einen Hauptnenner braucht

Addieren lässt sich nur, was gleich groß ist. Eine halbe Pizza und ein Drittel Pizza sind verschieden große Stücke, das Zählen der Stücke sagt also nichts, solange beide nicht gleich geschnitten sind. Sechstel passen für beide: ein Halbes sind drei Sechstel, ein Drittel sind zwei Sechstel; jetzt stimmen die Stücke überein, also drei plus zwei gleich fünf — fünf Sechstel. Das ist die ganze Methode. Suchen Sie eine Zahl, in die beide Nenner aufgehen, schreiben Sie jeden Bruch darauf um, indem Sie oben und unten mit demselben multiplizieren, und addieren oder subtrahieren Sie nur die Zähler. Multiplikation und Division überspringen diesen Schritt: man multipliziert geradeaus, und zum Dividieren dreht man den zweiten Bruch um und multipliziert.

Die sechs Fehler

Oben und unten addieren: 1/2 + 1/3 = 2/5. Falsch. Die Antwort ist 5/6, und 2/5 ist kleiner als beide Ausgangsbrüche — ein klares Zeichen, dass etwas kaputtging.
Beim Erweitern den Zähler vergessen: 1/2 auf Sechstel gebracht ergibt 3/6, nicht 1/6. Was unten geschieht, geschieht oben.
Dividieren statt umdrehen: 1/2 ÷ 1/4 ist nicht 1/8. Zweiten Bruch stürzen und multiplizieren: 1/2 × 4/1 = 2.
Das Ergebnis ungekürzt lassen. 6/8 ist richtig, aber die Antwort ist 3/4 — in einer Klausur kostet der Unterschied Punkte.
Über ein Pluszeichen hinweg kürzen. Gemeinsame Faktoren darf man beim Multiplizieren kürzen, beim Addieren nie.
Glauben, ein größerer Nenner bedeute eine größere Zahl. 1/16 ist kleiner als 1/2: mehr Stücke heißt kleinere Stücke.

Wo sie wirklich vorkommen

Rezepte: ⅔ Cup zu halbieren ergibt ⅓, aber ¾ zu halbieren ergibt ⅜, das kein Messbecher hat — deshalb wechseln Rezepte auf Löffel.
Zollmaßbänder und Bohrer: alles in Halben, Vierteln, Achteln und Sechzehnteln, die Nenner sind also stets Zweierpotenzen.
Bauholz und Rohre: ein 2×4 misst keine zwei mal vier Zoll, sondern 1½ × 3½ nach dem Hobeln.
Musik: ganze, halbe und Viertelnote sind genau die Brüche, nach denen sie heißen.
Wahrscheinlichkeit: 1 von 6 beim Würfel ist der Bruch 1/6, also 16,67 %.
Aktien wurden an US-Börsen bis zur Dezimalisierung 2001 in Achteln eines Dollars notiert.

Gelöste Beispiele

Samt der, die alle falsch machen

½ + ⅓

Der Hauptnenner von 2 und 3 ist 6
1/2 wird zu 3/6, und 1/3 wird zu 2/6
3/6 + 2/6 = 5/6, bereits vollständig gekürzt

5/6 — nicht 2/5

½ ÷ ¼

Zweiten Bruch stürzen: 1/4 wird zu 4/1
Geradeaus multiplizieren: 1×4 = 4, 2×1 = 2
4/2 gekürzt ergibt 2

2 — in ein Halbes passen zwei Viertel

Häufig Gestellte Fragen

Warum ist 1/2 + 1/3 nicht 2/5?

Weil Halbe und Drittel unterschiedlich große Stücke sind. Zähler und Nenner getrennt zu addieren zählt ungleiche Stücke, als wären sie gleich. Bringt man beide auf 6 — 3/6 und 2/6 — lautet die Antwort 5/6. Schnelle Probe: 2/5 ist kleiner als 1/2, und eine positive Zahl zu addieren kann die Summe nie verkleinern.

Wie finde ich den Hauptnenner?

Die beiden Nenner zu multiplizieren funktioniert immer: bei 4 und 6 ergibt das 24. Der kleinste gemeinsame Nenner ist kleiner — 12 — und erspart späteres Kürzen, doch beide führen nach dem Kürzen zum selben Ergebnis.

Wie dividiert man Brüche?

Den zweiten Bruch stürzen und multiplizieren. 2/3 ÷ 1/6 wird zu 2/3 × 6/1 = 12/3 = 4. Durch einen Bruch kleiner als eins zu teilen vergrößert das Ergebnis immer — das überrascht jedes Mal.

Was ist eine gemischte Zahl?

Eine ganze Zahl neben einem echten Bruch, etwa 1¾ statt 7/4. Sie liest sich besser und passt zum Messen, rechnet sich aber schlechter: vor dem Multiplizieren oder Dividieren zurück in 7/4 verwandeln.

Wie kürzt man einen Bruch?

Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividieren. Bei 18/24 ist das die 6, es bleibt 3/4. Teilt beide nur die 1, ist der Bruch bereits vollständig gekürzt.

Darf ein Nenner null sein?

Nein. Der Bruchstrich ist ein Geteiltzeichen, und durch null zu teilen hat keine Antwort — nicht unendlich, gar keine. Jeder Rechner, der für n/0 etwas ausgibt, lügt.