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Quadratische Formel Rechner

Quadratische Gleichungen lösen

Referenztabelle

Koeffizient a (x²)Wurzel x₁GleichungDiskriminante (Δ)
0,55,23610,5x² - 3x + 2 = 05
12x² - 3x + 2 = 01
1,51 + 0,5774i1,5x² - 3x + 2 = 0-3
20,75 + 0,6614i2x² - 3x + 2 = 0-7
2,50,6 + 0,6633i2,5x² - 3x + 2 = 0-11
30,5 + 0,6455i3x² - 3x + 2 = 0-15
40,375 + 0,5995i4x² - 3x + 2 = 0-23
50,3 + 0,5568i5x² - 3x + 2 = 0-31
60,25 + 0,5204i6x² - 3x + 2 = 0-39
70,2143 + 0,4897i7x² - 3x + 2 = 0-47
80,1875 + 0,4635i8x² - 3x + 2 = 0-55
90,1667 + 0,441i9x² - 3x + 2 = 0-63
100,15 + 0,4213i10x² - 3x + 2 = 0-71
120,125 + 0,3886i12x² - 3x + 2 = 0-87
150,1 + 0,3512i15x² - 3x + 2 = 0-111

📊 Fälle der Diskriminante

  • Δ > 0Zwei verschiedene reelle Nullstellen
  • Δ = 0Eine doppelte reelle Nullstelle (x = -b/2a)
  • Δ < 0Zwei konjugiert komplexe Nullstellen
  • Δ = QuadratzahlRationale Nullstellen (bei ganzzahligen a, b, c)

Schnelle Tipps

  • Δ > 0: Zwei verschiedene reelle Wurzeln
  • Δ = 0: Eine wiederholte reelle Wurzel
  • Δ < 0: Zwei komplex konjugierte Wurzeln
  • Scheitel x = -b/(2a)

Was ist die quadratische Formel?

Die quadratische Formel ist eine universelle Methode zum Lösen jeder quadratischen Gleichung der Form ax² + bx + c = 0, wobei a ≠ 0. Die Formel x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a gibt die Wurzeln (Lösungen) der Gleichung. Diese Wurzeln stellen die x-Werte dar, bei denen die Parabel die x-Achse schneidet. Die quadratische Formel funktioniert für alle Fälle: zwei verschiedene reelle Wurzeln, eine wiederholte Wurzel oder zwei komplex konjugierte Wurzeln.

Die Diskriminante verstehen

Die Diskriminante Δ = b² - 4ac ist der Schlüssel zum Verständnis der Natur der Wurzeln. Wenn Δ > 0, hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln. Wenn Δ = 0, gibt es genau eine reelle Wurzel (eine wiederholte Wurzel). Wenn Δ < 0, sind die Wurzeln komplex konjugiert von der Form a ± bi. Die Diskriminante zeigt auch an, ob die Parabel die x-Achse schneidet, berührt oder nie kreuzt.

Wichtige Eigenschaften

  • Der Koeffizient 'a' kann nicht null sein (sonst ist es linear, nicht quadratisch)
  • Vietasche Formeln verbinden Wurzeln mit Koeffizienten: Summe = -b/a, Produkt = c/a
  • Der Scheitel (h,k) stellt den Minimum- (a>0) oder Maximum- (a<0) Punkt dar
  • Scheitelform y = a(x-h)² + k macht das Zeichnen einfacher
  • Komplexe Wurzeln kommen immer in konjugierten Paaren

Anwendungen in der Praxis

  • Wurfbewegung: Die Höhe folgt h = h₀ + v₀t − ½gt², einer quadratischen Funktion der Zeit
  • Wirtschaft: Umsatz- und Gewinnkurven sind oft Parabeln — der Scheitelpunkt liefert den optimalen Preis oder die optimale Menge
  • Geometrie: Flächen-, Zaun- und Randprobleme führen auf quadratische Gleichungen
  • Ingenieurwesen: Parabelbögen, Seile von Hängebrücken und Satellitenschüsseln werden mit Quadratiken entworfen
  • Verkehrssicherheit: Der Bremsweg wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit — doppelte Geschwindigkeit bedeutet rund vierfachen Bremsweg
  • Computergrafik: Bézier-Kurven und Strahl-Kugel-Schnitte lösen in jedem Frame quadratische Gleichungen

Beispielrechnungen

Schrittweise Lösungen für verschiedene Fälle

Zwei reelle Wurzeln

  1. Gleichung: x² - 5x + 6 = 0
  2. a=1, b=-5, c=6
  3. Δ = 25 - 24 = 1 > 0
  4. x = (5 ± 1) / 2

x₁ = 3, x₂ = 2

Komplexe Wurzeln

  1. Gleichung: x² + 2x + 5 = 0
  2. a=1, b=2, c=5
  3. Δ = 4 - 20 = -16 < 0
  4. x = (-2 ± 4i) / 2

x₁ = -1+2i, x₂ = -1-2i

Häufig Gestellte Fragen

Was sagt uns die Diskriminante?

Die Diskriminante (b² - 4ac) zeigt die Natur der Wurzeln: positiv bedeutet zwei reelle Wurzeln, null bedeutet eine wiederholte Wurzel, negativ bedeutet zwei komplexe Wurzeln.

Kann ich jede Quadratgleichung mit dieser Formel lösen?

Ja! Die quadratische Formel funktioniert für jede quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0, wobei a ≠ 0, unabhängig davon, ob die Wurzeln reell oder komplex sind.

Was ist der Scheitel einer Parabel?

Der Scheitel ist der Wendepunkt der Parabel. Für y = ax² + bx + c liegt der Scheitel bei x = -b/(2a). Er ist der tiefste Punkt wenn a > 0, höchster wenn a < 0.

Was sind Vietasche Formeln?

Vietasche Formeln verbinden Wurzeln mit Koeffizienten: die Summe der Wurzeln gleicht -b/a, und das Produkt der Wurzeln gleicht c/a. Diese funktionieren sogar für komplexe Wurzeln.

Wie konvertiere ich zur Scheitelform?

Vervollständigen Sie das Quadrat: y = a(x² + (b/a)x) + c wird zu y = a(x + b/2a)² + (c - b²/4a). Der Scheitel ist (-b/2a, c - b²/4a).

Was wenn 'a' gleich null ist?

Wenn a = 0, ist es nicht mehr quadratisch—es wird eine lineare Gleichung bx + c = 0, die eine Lösung hat: x = -c/b (wenn b ≠ 0).

Quellen