Grad-in-Bogenmaß-Umrechner

π Bogenmaß sind 180 Grad — Winkel für Trigonometrie, Analysis und Code umrechnen, mit den exakten Vielfachen von π.

Umrechnungstabelle

Winkel	In Bogenmaß
1	0.017453 rad
2	0.034907 rad
3	0.05236 rad
4	0.069813 rad
5	0.087266 rad
10	0.17453 rad
15	0.2618 rad
20	0.34907 rad
25	0.43633 rad
30	0.5236 rad
40	0.69813 rad
50	0.87266 rad
60	1.0472 rad
70	1.2217 rad
75	1.309 rad

🔢 Die Vielfachen von π

30° = π/60,5236 rad
45° = π/40,7854 rad
90° = π/21,5708 rad
1 rad57,2958°

Mit Winkeln arbeiten, ohne auszurutschen

Grad mal π/180 ergibt Bogenmaß, mal 180/π geht es zurück. Als eine Zahl: × 0,0174533 und × 57,29578.
Lassen Sie das Ergebnis als Vielfaches von π stehen, wo es geht. 3π/4 ist exakt; 2,356 ist eine gerundete Kopie, die über eine lange Rechnung wegdriftet.
Vor jeder Trigonometrieaufgabe den Modus prüfen. sin(30) ergibt 0,5 im DEG-Modus und −0,988 im RAD-Modus, und beide sehen plausibel aus.
Sinus, Kosinus und Tangens jeder Programmiersprache arbeiten im Bogenmaß. In JavaScript und Python lautet die Umrechnung winkel * Math.PI / 180.

Was ein Radiant tatsächlich misst

Nehmen Sie einen Kreis, gehen Sie am Rand entlang, bis der zurückgelegte Bogen genau so lang ist wie der Radius, und schauen Sie auf den überstrichenen Winkel: dieser Winkel ist ein Radiant. Weil der ganze Umfang 2πr misst, enthält eine volle Umdrehung exakt 2π Radiant — rund 6,2832 — und eine halbe Umdrehung π. Daher gilt 180° = π rad, und ein Radiant sind 180/π ≈ 57,2958 Grad. Anders als das Grad ist der Radiant keine gewählte Zahl: er folgt aus der Geometrie des Kreises selbst, und darum ist er die SI-Einheit für den ebenen Winkel.

Warum die Analysis auf Bogenmaß besteht

Im Bogenmaß ist die Bogenlänge schlicht s = rθ und die Sektorfläche ½r²θ, ohne jeden Umrechnungsfaktor. Wichtiger noch: die Ableitung von sin x ist nur dann cos x, wenn x im Bogenmaß steht; in Grad taucht ein Faktor π/180 auf, der anschließend jede darauf aufbauende Formel durchsetzt. Dieselbe Wahl lässt die Kleinwinkelnäherung funktionieren: für kleines θ im Bogenmaß gilt sin θ ≈ θ ≈ tan θ, unter 10° auf besser als 0,5 % genau. Physik, Optik und Signalverarbeitung stützen sich darauf — das Grad bleibt auf dem Geodreieck, der Radiant geht in die Gleichungen.

Die Winkel, die man auswendig kann

30° = π/6 ≈ 0,5236 rad. Der Sinus ist genau 1/2.
45° = π/4 ≈ 0,7854 rad. Sinus und Kosinus sind beide √2/2.
60° = π/3 ≈ 1,0472 rad. Der Kosinus ist genau 1/2.
90° = π/2 ≈ 1,5708 rad. Der Sinus ist 1, der Tangens nicht definiert.
180° = π ≈ 3,1416 rad, und 270° = 3π/2 ≈ 4,7124 rad.
360° = 2π ≈ 6,2832 rad, eine volle Umdrehung.

Wo Winkelumrechnungen schiefgehen

Taschenrechner im falschen Modus. Der häufigste verlorene Punkt in der Trigonometrie — und er meldet nie einen Fehler, sondern liefert nur eine falsche Zahl, die richtig aussieht.
π zu früh runden. 3,14 statt π kostet sofort rund 0,05 %, und das wächst mit jeder Multiplikation.
Versehentlich in Gon landen. Manche Rechner haben einen dritten GRAD-Modus, in dem der rechte Winkel 100 ist, nicht 90 und nicht π/2.
Grad an eine Bibliotheksfunktion geben. Math.sin(90) liefert 0,894 statt 1, weil die Sprache 90 Radiant gelesen hat.
Vergessen, dass Winkel umlaufen. 390° und 30° zeigen in dieselbe Richtung, ebenso 2π+x und x.
Bogenminuten mit Uhrminuten verwechseln. 1′ ist 1/60 Grad und hat mit Zeit nichts zu tun, auch wenn beide aus derselben babylonischen Basis 60 stammen.

Gelöste Beispiele

In beide Richtungen, exakt und dezimal

135° ins Bogenmaß

135 × π/180 = 135π/180
Bruch kürzen: 3π/4
Als Dezimalzahl: 3 × 3,14159 ÷ 4 = 2,3562 rad

135° = 3π/4 ≈ 2,3562 rad

2 Radiant in Grad

2 × 180/π = 360/3,14159
= 114,59°
Plausibilität: 2 rad ist etwas weniger als π, also etwas weniger als 180°

2 rad = 114,59°

Häufig Gestellte Fragen

Wie rechne ich Grad in Bogenmaß um?

Mit π/180 multiplizieren. So werden 90° zu 90π/180 = π/2 ≈ 1,5708 rad und 60° zu π/3 ≈ 1,0472. Zurück geht es mit 180/π, also rund 57,2958 Grad je Radiant.

Warum sind π Radiant gleich 180 Grad?

Weil der Radiant über die Bogenlänge definiert ist. Der Bogen eines Halbkreises misst πr, und ein Radiant ist der Winkel, dessen Bogen einen Radius lang ist — der Halbkreis fasst also genau π Radiant. Da derselbe Halbkreis auch 180 Grad hat, gilt π rad = 180°.

Wie viel Grad ist 1 Radiant?

57,29578 Grad, also 180 geteilt durch π. Die Zahl ist gerade deshalb unhandlich, weil der Radiant aus dem Kreis folgt und das Grad aus der historischen Wahl von 360 Teilen; nichts zwingt beide zu einem glatten Verhältnis.

Warum rechnen Mathematiker in Bogenmaß statt in Grad?

Weil die Formeln sauber bleiben. Bogenlänge rθ und Sektorfläche ½r²θ gelten nur im Bogenmaß, die Ableitung von sin x ist nur im Bogenmaß cos x, und sin θ ≈ θ für kleine Winkel gilt nur im Bogenmaß. In Grad klebt an jeder Ableitung und jeder Reihe ein Faktor π/180.

Was ist Gon und warum hat mein Rechner das?

Gon, früher Neugrad, teilt den rechten Winkel in 100 statt in 90 Teile, eine volle Umdrehung hat also 400 gon. Es war ein Versuch der metrischen Zeit, Winkel zu dezimalisieren, und lebt in der Vermessung weiter, besonders in Frankreich. Wirken Ihre Trigonometrieergebnisse seltsam, prüfen Sie, ob der Rechner im GRAD-Modus steht.

Funktioniert die Umrechnung auch für negative Winkel?

Ja, und negative Winkel sind völlig gewöhnlich: sie drehen nur im Uhrzeigersinn statt dagegen. −90° sind −π/2 rad und zeigen in dieselbe Richtung wie +270°. Dieser Umrechner nimmt sie anstandslos an.