Convertisseur Degrés en Radians

π radians valent 180 degrés : convertissez les angles pour la trigonométrie, l'analyse et le code, avec les multiples exacts de π.

Tableau de conversion

Angle	En radians
1	0 017453 rad
2	0 034907 rad
3	0 05236 rad
4	0 069813 rad
5	0 087266 rad
10	0 17453 rad
15	0 2618 rad
20	0 34907 rad
25	0 43633 rad
30	0 5236 rad
40	0 69813 rad
50	0 87266 rad
60	1 0472 rad
70	1 2217 rad
75	1 309 rad

🔢 Les multiples de π

30° = π/60,5236 rad
45° = π/40,7854 rad
90° = π/21,5708 rad
1 rad57,2958°

Manipuler des angles sans se tromper

Multipliez les degrés par π/180 pour des radians, et par 180/π pour revenir. En un seul nombre : × 0,0174533 et × 57,29578.
Gardez la réponse sous forme de multiple de π quand c'est possible. 3π/4 est exact ; 2,356 en est une copie arrondie qui dérive au fil d'un long calcul.
Vérifiez le mode de la calculatrice avant chaque exercice de trigonométrie. sin(30) donne 0,5 en DEG et −0,988 en RAD, et les deux ont l'air crédibles.
Les fonctions sin, cos et tan de tous les langages travaillent en radians. En JavaScript et en Python, la conversion s'écrit angle * Math.PI / 180.

Ce que mesure vraiment un radian

Prenez un cercle, parcourez son bord jusqu'à ce que l'arc franchi mesure exactement le rayon, puis regardez l'angle balayé : cet angle vaut un radian. Comme la circonférence entière mesure 2πr, un tour complet contient exactement 2π radians — environ 6,2832 — et un demi-tour en contient π. D'où 180° = π rad, et un radian valant 180/π ≈ 57,2958 degrés. Contrairement au degré, le radian n'est pas un nombre choisi : il découle de la géométrie même du cercle, et c'est pourquoi il est l'unité SI de l'angle plan.

Pourquoi l'analyse impose les radians

En radians, la longueur d'arc s'écrit simplement s = rθ et l'aire du secteur ½r²θ, sans aucun facteur de conversion. Plus décisif encore : la dérivée de sin x vaut cos x uniquement lorsque x est en radians ; en degrés apparaît un facteur π/180 qui contamine ensuite toutes les formules construites dessus. Le même choix fait fonctionner l'approximation des petits angles : pour θ petit en radians, sin θ ≈ θ ≈ tan θ, à mieux que 0,5 % près en dessous de 10°. Physique, optique et traitement du signal s'appuient sur ce raccourci — le degré reste sur le rapporteur, le radian entre dans les équations.

Les angles qu'il faut connaître

30° = π/6 ≈ 0,5236 rad. Le sinus vaut exactement 1/2.
45° = π/4 ≈ 0,7854 rad. Sinus et cosinus valent tous deux √2/2.
60° = π/3 ≈ 1,0472 rad. Le cosinus vaut exactement 1/2.
90° = π/2 ≈ 1,5708 rad. Le sinus vaut 1, la tangente n'est pas définie.
180° = π ≈ 3,1416 rad, et 270° = 3π/2 ≈ 4,7124 rad.
360° = 2π ≈ 6,2832 rad, un tour complet.

Là où les conversions d'angle dérapent

Calculatrice dans le mauvais mode. C'est le point perdu le plus fréquent en trigonométrie, et il ne déclenche aucun message d'erreur : juste un nombre faux d'allure normale.
Arrondir π trop tôt. Utiliser 3,14 au lieu de π coûte 0,05 % d'emblée, et l'écart grandit à chaque multiplication.
Se retrouver en grades. Certaines calculatrices offrent un troisième mode GRAD où l'angle droit vaut 100, ni 90 ni π/2. On y atterrit très facilement.
Donner des degrés à une fonction de bibliothèque. Math.sin(90) renvoie 0,894 et non 1, parce que le langage a lu 90 radians.
Oublier que les angles bouclent. 390° et 30° désignent la même direction, tout comme 2π+x et x.
Confondre minutes d'arc et minutes d'horloge. 1′ vaut 1/60 de degré et n'a rien à voir avec le temps, même si les deux viennent de la base 60 babylonienne.

Exemples résolus

Dans les deux sens, exact et décimal

Convertir 135° en radians

135 × π/180 = 135π/180
Simplifiez la fraction : 3π/4
En décimal : 3 × 3,14159 ÷ 4 = 2,3562 rad

135° = 3π/4 ≈ 2,3562 rad

Convertir 2 radians en degrés

2 × 180/π = 360/3,14159
= 114,59°
Contrôle mental : 2 rad est un peu moins que π, donc un peu moins de 180°

2 rad = 114,59°

Questions Fréquentes

Comment convertir des degrés en radians ?

En multipliant par π/180. Ainsi 90° donne 90π/180 = π/2 ≈ 1,5708 rad, et 60° donne π/3 ≈ 1,0472. Pour revenir, multipliez les radians par 180/π, soit environ 57,2958 degrés par radian.

Pourquoi π radians valent-ils 180 degrés ?

Parce que le radian se définit par la longueur d'arc. L'arc d'un demi-cercle mesure πr, et un radian est l'angle dont l'arc vaut un rayon : un demi-cercle contient donc exactement π radians. Comme ce demi-cercle fait aussi 180 degrés, les deux descriptions du même angle donnent π rad = 180°.

Combien vaut 1 radian en degrés ?

57,29578 degrés, soit 180 divisé par π. Le nombre est peu commode précisément parce que le radian découle du cercle tandis que le degré vient d'un choix historique de 360 parts ; rien n'oblige les deux à tomber juste.

Pourquoi les mathématiciens préfèrent-ils les radians ?

Parce que les formules restent propres. La longueur d'arc vaut rθ et l'aire du secteur ½r²θ uniquement en radians ; la dérivée de sin x vaut cos x uniquement en radians ; et sin θ ≈ θ pour les petits angles uniquement en radians. En degrés, un facteur π/180 reste collé à chaque dérivée et à chaque série.

Qu'est-ce qu'un grade et pourquoi ma calculatrice en a-t-elle un ?

Le grade, aussi appelé gon, divise l'angle droit en 100 parties au lieu de 90 : le tour complet fait 400 gon. C'était une tentative de l'époque métrique pour décimaliser les angles, et il survit en topographie, notamment en France. Si vos résultats de trigonométrie paraissent bizarres, vérifiez que la calculatrice n'est pas restée en GRAD.

La conversion fonctionne-t-elle pour les angles négatifs ?

Oui, et les angles négatifs n'ont rien d'exotique : ils tournent simplement dans le sens horaire. −90° font −π/2 rad et désignent la même direction que +270°. Ce convertisseur les accepte sans broncher.