Calculateur de Moyenne

Moyenne, médiane, mode, étendue et écart-type d'une liste collée — parce que « moyenne » désigne trois choses différentes qui s'accordent rarement.

Laquelle des trois utiliser ?

Prenez la médiane pour l'argent. Prix de l'immobilier, salaires et loyers sont toujours tirés par quelques valeurs énormes, et la moyenne grimpe jusqu'à un chiffre que personne ne paie.
Prenez la moyenne quand les valeurs se groupent symétriquement : notes, tailles, températures quotidiennes.
Prenez le mode pour ce qui n'est pas vraiment un nombre : la pointure la plus courante, le jour de livraison le plus fréquent.
Regardez le compte. S'il lit moins de valeurs que vous n'en avez collées, quelque chose dans votre liste n'est pas un nombre.

« Moyenne » recouvre trois mots

Quand on dit moyenne, on pense en général à la moyenne arithmétique : tout additionner et diviser par le nombre de valeurs. Mais la médiane et le mode sont aussi des moyennes, et les statisticiens appellent les trois des mesures de tendance centrale. La médiane est la valeur qui se trouve au milieu une fois la liste triée, et le mode celle qui revient le plus souvent. Sur un ensemble net et symétrique, les trois tombent à peu près au même endroit et la distinction ne change rien. Sur des données réelles, presque jamais nettes, elles peuvent s'écarter beaucoup — et le choix de celle qu'on cite est souvent une décision sur l'histoire que le chiffre doit raconter.

Quand la moyenne ment

Prenez cinq salaires : 32 000, 35 000, 38 000, 41 000 et 251 000. La moyenne donne 79 400, et personne dans cette pièce ne gagne quoi que ce soit d'approchant. La médiane vaut 38 000, ce qui décrit honnêtement le groupe. Une seule valeur extrême a tiré la moyenne de plus de 40 000 vers le haut, parce que la moyenne donne le même poids à chaque valeur, si éloignée soit-elle. La médiane, elle, ne se laisse pas tirer : seule compte la position dans la liste triée, donc une valeur aberrante la déplace d'un rang au plus. C'est pourquoi les instituts statistiques publient le revenu médian et le prix médian du logement, et pourquoi une moyenne citée sans sa médiane mérite un second regard.

Choisir la bonne

Revenus, patrimoine, prix de l'immobilier, loyers : prenez la médiane. Ces distributions ont une longue queue à droite et la moyenne surestime toujours le cas typique.
Notes d'examen, tailles, tension artérielle : la moyenne convient, car les valeurs se groupent autour du centre sans queues extrêmes.
Temps d'attente et de chargement : donnez la médiane et un percentile élevé. La moyenne masque la queue lente, celle que l'utilisateur remarque.
Catégories plutôt que quantités — pointure, plat le plus commandé : seul le mode a du sens.
Des vitesses moyennées sur la même distance appellent la moyenne harmonique, pas celle-ci. 30 km/h à l'aller et 60 au retour donnent 40, pas 45.
Les taux de croissance appellent la moyenne géométrique. Deux années à +50 % puis −50 % ne font pas 0 % : c'est une perte de 25 %.

L'écart-type et le n−1

L'écart-type dit à quelle distance les valeurs se tiennent habituellement de la moyenne. Deux ensembles peuvent partager une moyenne de 50 sans se ressembler.
La variance est l'écart-type au carré. C'est avec elle que les formules travaillent ; l'écart-type existe pour ramener le nombre aux unités d'origine.
L'écart-type d'échantillon divise par n−1, pas par n. C'est la correction de Bessel : un échantillon sous-estime presque toujours la dispersion de sa population.
N'employez la formule de population que si votre liste est vraiment tout : les 30 élèves de la classe, pas 30 tirés d'une école de 900.
Sur de petites listes l'écart est net : à n=5, diviser par 4 au lieu de 5 relève le résultat d'environ 12 %.
Dans une distribution à peu près normale, environ 68 % des valeurs tombent à un écart-type de la moyenne et 95 % à deux.

Exemples résolus

La même idée, deux réponses très différentes

Cinq notes

88 + 92 + 79 + 95 + 84 = 438
438 ÷ 5 = 87,6 — la moyenne
Triées : 79, 84, 88, 92, 95 — le centre est 88

Moyenne 87,6, médiane 88 — elles s'accordent

Cinq salaires, un extrême

32 000 + 35 000 + 38 000 + 41 000 + 251 000 = 397 000
397 000 ÷ 5 = 79 400 — la moyenne
Triés, la valeur centrale vaut 38 000 — la médiane

Moyenne 79 400, médiane 38 000 — fiez-vous à la médiane

Questions Fréquentes

Comment calculer une moyenne ?

Additionnez tous les nombres et divisez par leur nombre. Cinq valeurs totalisant 438 donnent une moyenne de 87,6. C'est la moyenne arithmétique ; la médiane et le mode sont aussi des moyennes, et ce calculateur renvoie les trois.

Quelle différence entre moyenne et médiane ?

La moyenne est le total divisé par l'effectif ; la médiane est la valeur du milieu une fois la liste triée. Sur des données symétriques elles sont proches. Sur des données asymétriques — salaires, prix de l'immobilier — la moyenne est tirée vers les extrêmes et la médiane reste sur le cas typique.

Quand utiliser la médiane plutôt que la moyenne ?

Dès que quelques valeurs très grandes ou très petites peuvent fausser le tableau. L'argent est le cas d'école : un salaire de 251 000 parmi quatre à trente et quelques pousse la moyenne à 79 400, un chiffre que personne ne touche. D'où le revenu médian et le prix médian des statistiques officielles.

Et s'il n'y a pas de mode ?

Si chaque valeur n'apparaît qu'une fois, l'ensemble n'a pas de mode et ce calculateur le dit plutôt que d'en inventer un. Si plusieurs valeurs sont à égalité, l'ensemble est multimodal et toutes sont listées.

Échantillon ou population ?

Population si votre liste est vraiment tout ce qui vous intéresse : les 30 élèves d'une classe. Échantillon si c'est un sous-ensemble représentant un groupe plus large. La formule d'échantillon divise par n−1, ce qui relève un peu l'écart-type pour corriger la tendance des échantillons à sous-estimer.

Pourquoi mon compte semble faux ?

Le compte indique combien de nombres ont réellement été lus. Les séparateurs sont la virgule, l'espace, le point-virgule et le saut de ligne, et les décimales prennent un point : la virgule étant un séparateur, « 3,5 » est lu comme deux valeurs, trois et cinq.