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Kalcufy

Calculateur de Formule Quadratique

Résolvez les équations quadratiques

Tableau de référence

Coefficient a (x²)Racine x₁ÉquationDiscriminant (Δ)
0,55,23610,5x² - 3x + 2 = 05
12x² - 3x + 2 = 01
1,51 + 0,5774i1,5x² - 3x + 2 = 0-3
20,75 + 0,6614i2x² - 3x + 2 = 0-7
2,50,6 + 0,6633i2,5x² - 3x + 2 = 0-11
30,5 + 0,6455i3x² - 3x + 2 = 0-15
40,375 + 0,5995i4x² - 3x + 2 = 0-23
50,3 + 0,5568i5x² - 3x + 2 = 0-31
60,25 + 0,5204i6x² - 3x + 2 = 0-39
70,2143 + 0,4897i7x² - 3x + 2 = 0-47
80,1875 + 0,4635i8x² - 3x + 2 = 0-55
90,1667 + 0,441i9x² - 3x + 2 = 0-63
100,15 + 0,4213i10x² - 3x + 2 = 0-71
120,125 + 0,3886i12x² - 3x + 2 = 0-87
150,1 + 0,3512i15x² - 3x + 2 = 0-111

📊 Cas du discriminant

  • Δ > 0Deux racines réelles distinctes
  • Δ = 0Une racine réelle double (x = -b/2a)
  • Δ < 0Deux racines complexes conjuguées
  • Δ = carré parfaitRacines rationnelles (a, b, c entiers)

Conseils Rapides

  • Δ > 0 : Deux racines réelles distinctes
  • Δ = 0 : Une racine réelle double
  • Δ < 0 : Deux racines complexes conjuguées
  • Sommet x = -b/(2a)

Qu'est-ce que la Formule Quadratique ?

La formule quadratique est une méthode universelle pour résoudre toute équation quadratique de la forme ax² + bx + c = 0, où a ≠ 0. La formule x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a donne les racines (solutions) de l'équation. Ces racines représentent les valeurs de x où la parabole croise l'axe des x. La formule quadratique fonctionne dans tous les cas : deux racines réelles distinctes, une racine double, ou deux racines complexes conjuguées.

Comprendre le Discriminant

Le discriminant Δ = b² - 4ac est la clé pour comprendre la nature des racines. Quand Δ > 0, l'équation a deux racines réelles distinctes. Quand Δ = 0, il y a exactement une racine réelle (racine double). Quand Δ < 0, les racines sont des conjugués complexes de la forme a ± bi. Le discriminant indique aussi si la parabole intersecte, touche ou ne croise jamais l'axe des x.

Propriétés Importantes

  • Le coefficient 'a' ne peut pas être zéro (sinon c'est linéaire, pas quadratique)
  • Les formules de Vieta relient les racines aux coefficients : somme = -b/a, produit = c/a
  • Le sommet (h,k) représente le point minimum (a>0) ou maximum (a<0)
  • La forme canonique y = a(x-h)² + k facilite le tracé graphique
  • Les racines complexes viennent toujours par paires conjuguées

Applications concrètes

  • Mouvement d'un projectile : la hauteur suit h = h₀ + v₀t − ½gt², une quadratique du temps
  • Économie : les courbes de recettes et de profit sont souvent des paraboles — le sommet donne le prix ou la production optimale
  • Géométrie : les problèmes d'aires, de clôtures et de bordures se ramènent à des équations du second degré
  • Ingénierie : arches paraboliques, câbles de ponts suspendus et antennes paraboliques se conçoivent avec des quadratiques
  • Sécurité routière : la distance de freinage croît avec le carré de la vitesse — à vitesse double, distance environ quadruplée
  • Infographie : les courbes de Bézier et les intersections rayon-sphère résolvent des équations du second degré à chaque image

Exemples de Calculs

Solutions étape par étape pour différents cas

Deux Racines Réelles

  1. Équation : x² - 5x + 6 = 0
  2. a=1, b=-5, c=6
  3. Δ = 25 - 24 = 1 > 0
  4. x = (5 ± 1) / 2

x₁ = 3, x₂ = 2

Racines Complexes

  1. Équation : x² + 2x + 5 = 0
  2. a=1, b=2, c=5
  3. Δ = 4 - 20 = -16 < 0
  4. x = (-2 ± 4i) / 2

x₁ = -1+2i, x₂ = -1-2i

Questions Fréquentes

Que nous dit le discriminant ?

Le discriminant (b² - 4ac) révèle la nature des racines : positif signifie deux racines réelles, zéro signifie une racine double, négatif signifie deux racines complexes.

Puis-je résoudre n'importe quelle équation quadratique avec cette formule ?

Oui ! La formule quadratique fonctionne pour toute équation quadratique ax² + bx + c = 0 où a ≠ 0, que les racines soient réelles ou complexes.

Qu'est-ce que le sommet d'une parabole ?

Le sommet est le point de retournement de la parabole. Pour y = ax² + bx + c, le sommet est à x = -b/(2a). C'est le point minimum si a > 0, maximum si a < 0.

Que sont les formules de Vieta ?

Les formules de Vieta relient les racines aux coefficients : la somme des racines égale -b/a, et le produit des racines égale c/a. Cela fonctionne même pour les racines complexes.

Comment convertir en forme canonique ?

Complétez le carré : y = a(x² + (b/a)x) + c devient y = a(x + b/2a)² + (c - b²/4a). Le sommet est (-b/2a, c - b²/4a).

Que se passe-t-il si 'a' égale zéro ?

Si a = 0, ce n'est plus quadratique—cela devient une équation linéaire bx + c = 0, qui a une solution : x = -c/b (si b ≠ 0).

Sources