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Kalcufy

Calculadora de Fórmula Quadrática

Resolva equações quadráticas

Tabela de referência

Coeficiente a (x²)Raiz x₁EquaçãoDiscriminante (Δ)
0,55,23610,5x² - 3x + 2 = 05
12x² - 3x + 2 = 01
1,51 + 0,5774i1,5x² - 3x + 2 = 0-3
20,75 + 0,6614i2x² - 3x + 2 = 0-7
2,50,6 + 0,6633i2,5x² - 3x + 2 = 0-11
30,5 + 0,6455i3x² - 3x + 2 = 0-15
40,375 + 0,5995i4x² - 3x + 2 = 0-23
50,3 + 0,5568i5x² - 3x + 2 = 0-31
60,25 + 0,5204i6x² - 3x + 2 = 0-39
70,2143 + 0,4897i7x² - 3x + 2 = 0-47
80,1875 + 0,4635i8x² - 3x + 2 = 0-55
90,1667 + 0,441i9x² - 3x + 2 = 0-63
100,15 + 0,4213i10x² - 3x + 2 = 0-71
120,125 + 0,3886i12x² - 3x + 2 = 0-87
150,1 + 0,3512i15x² - 3x + 2 = 0-111

📊 Casos do discriminante

  • Δ > 0Duas raízes reais distintas
  • Δ = 0Uma raiz real repetida (x = -b/2a)
  • Δ < 0Duas raízes complexas conjugadas
  • Δ = quadrado perfeitoRaízes racionais (a, b, c inteiros)

Dicas Rápidas

  • Δ > 0: Duas raízes reais distintas
  • Δ = 0: Uma raiz real repetida
  • Δ < 0: Duas raízes complexas conjugadas
  • Vértice x = -b/(2a)

O que é a Fórmula Quadrática?

A fórmula quadrática é um método universal para resolver qualquer equação quadrática da forma ax² + bx + c = 0, onde a ≠ 0. A fórmula x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a fornece as raízes (soluções) da equação. Essas raízes representam os valores de x onde a parábola cruza o eixo x. A fórmula quadrática funciona para todos os casos: duas raízes reais distintas, uma raiz repetida, ou duas raízes complexas conjugadas.

Entendendo o Discriminante

O discriminante Δ = b² - 4ac é a chave para entender a natureza das raízes. Quando Δ > 0, a equação tem duas raízes reais distintas. Quando Δ = 0, há exatamente uma raiz real (uma raiz repetida). Quando Δ < 0, as raízes são complexas conjugadas da forma a ± bi. O discriminante também indica se a parábola intersecta, toca ou nunca cruza o eixo x.

Propriedades Importantes

  • O coeficiente 'a' não pode ser zero (caso contrário é linear, não quadrática)
  • As fórmulas de Vieta relacionam raízes aos coeficientes: soma = -b/a, produto = c/a
  • O vértice (h,k) representa o ponto mínimo (a>0) ou máximo (a<0)
  • A forma canônica y = a(x-h)² + k facilita a construção do gráfico
  • Raízes complexas sempre aparecem em pares conjugados

Aplicações no mundo real

  • Lançamento de projéteis: a altura segue h = h₀ + v₀t − ½gt², uma quadrática no tempo
  • Negócios: curvas de receita e lucro costumam ser parábolas — o vértice indica o preço ou a produção ideal
  • Geometria: problemas de área, cercas e bordas se reduzem a equações quadráticas
  • Engenharia: arcos parabólicos, cabos de pontes pênseis e antenas parabólicas são projetados com quadráticas
  • Segurança no trânsito: a distância de frenagem cresce com o quadrado da velocidade — o dobro da velocidade exige cerca de quatro vezes mais distância
  • Computação gráfica: curvas de Bézier e interseções raio-esfera resolvem quadráticas a cada quadro

Exemplos de Cálculos

Soluções passo a passo para diferentes casos

Duas Raízes Reais

  1. Equação: x² - 5x + 6 = 0
  2. a=1, b=-5, c=6
  3. Δ = 25 - 24 = 1 > 0
  4. x = (5 ± 1) / 2

x₁ = 3, x₂ = 2

Raízes Complexas

  1. Equação: x² + 2x + 5 = 0
  2. a=1, b=2, c=5
  3. Δ = 4 - 20 = -16 < 0
  4. x = (-2 ± 4i) / 2

x₁ = -1+2i, x₂ = -1-2i

Perguntas Frequentes

O que o discriminante nos diz?

O discriminante (b² - 4ac) revela a natureza das raízes: positivo significa duas raízes reais, zero significa uma raiz repetida, negativo significa duas raízes complexas.

Posso resolver qualquer quadrática com esta fórmula?

Sim! A fórmula quadrática funciona para qualquer equação quadrática ax² + bx + c = 0 onde a ≠ 0, independentemente de as raízes serem reais ou complexas.

O que é o vértice de uma parábola?

O vértice é o ponto de inflexão da parábola. Para y = ax² + bx + c, o vértice está em x = -b/(2a). É o ponto mínimo se a > 0, máximo se a < 0.

O que são as fórmulas de Vieta?

As fórmulas de Vieta relacionam raízes aos coeficientes: a soma das raízes é igual a -b/a, e o produto das raízes é igual a c/a. Funcionam mesmo para raízes complexas.

Como converter para a forma canônica?

Complete o quadrado: y = a(x² + (b/a)x) + c torna-se y = a(x + b/2a)² + (c - b²/4a). O vértice é (-b/2a, c - b²/4a).

E se 'a' for igual a zero?

Se a = 0, não é mais quadrática—torna-se uma equação linear bx + c = 0, que tem uma solução: x = -c/b (se b ≠ 0).

Fontes