Calculadora de Fórmula Cuadrática
Resuelve ecuaciones cuadráticas
Tabla de referencia
| Coeficiente a (x²) | Raíz x₁ | Ecuación | Discriminante (Δ) |
|---|---|---|---|
| 0,5 | 5,2361 | 0,5x² - 3x + 2 = 0 | 5 |
| 1 | 2 | x² - 3x + 2 = 0 | 1 |
| 1,5 | 1 + 0,5774i | 1,5x² - 3x + 2 = 0 | -3 |
| 2 | 0,75 + 0,6614i | 2x² - 3x + 2 = 0 | -7 |
| 2,5 | 0,6 + 0,6633i | 2,5x² - 3x + 2 = 0 | -11 |
| 3 | 0,5 + 0,6455i | 3x² - 3x + 2 = 0 | -15 |
| 4 | 0,375 + 0,5995i | 4x² - 3x + 2 = 0 | -23 |
| 5 | 0,3 + 0,5568i | 5x² - 3x + 2 = 0 | -31 |
| 6 | 0,25 + 0,5204i | 6x² - 3x + 2 = 0 | -39 |
| 7 | 0,2143 + 0,4897i | 7x² - 3x + 2 = 0 | -47 |
| 8 | 0,1875 + 0,4635i | 8x² - 3x + 2 = 0 | -55 |
| 9 | 0,1667 + 0,441i | 9x² - 3x + 2 = 0 | -63 |
| 10 | 0,15 + 0,4213i | 10x² - 3x + 2 = 0 | -71 |
| 12 | 0,125 + 0,3886i | 12x² - 3x + 2 = 0 | -87 |
| 15 | 0,1 + 0,3512i | 15x² - 3x + 2 = 0 | -111 |
📊 Casos del discriminante
- Δ > 0Dos raíces reales distintas
- Δ = 0Una raíz real repetida (x = -b/2a)
- Δ < 0Dos raíces complejas conjugadas
- Δ = cuadrado perfectoRaíces racionales (a, b, c enteros)
Consejos Rápidos
- Δ > 0: Dos raíces reales distintas
- Δ = 0: Una raíz real repetida
- Δ < 0: Dos raíces complejas conjugadas
- Vértice x = -b/(2a)
¿Qué es la Fórmula Cuadrática?
Entendiendo el Discriminante
Propiedades Importantes
- El coeficiente 'a' no puede ser cero (de lo contrario es lineal, no cuadrática)
- Las fórmulas de Vieta relacionan raíces con coeficientes: suma = -b/a, producto = c/a
- El vértice (h,k) representa el punto mínimo (a>0) o máximo (a<0)
- La forma vértice y = a(x-h)² + k facilita el graficado
- Las raíces complejas siempre vienen en pares conjugados
Aplicaciones en el mundo real
- Tiro parabólico: la altura sigue h = h₀ + v₀t − ½gt², una cuadrática en el tiempo
- Negocios: las curvas de ingresos y beneficios suelen ser parábolas — el vértice da el precio o la producción óptima
- Geometría: los problemas de áreas, cercados y bordes se reducen a ecuaciones cuadráticas
- Ingeniería: arcos parabólicos, cables de puentes colgantes y antenas parabólicas se diseñan con cuadráticas
- Seguridad vial: la distancia de frenado crece con el cuadrado de la velocidad — al doble de velocidad, unas cuatro veces más distancia
- Gráficos por computadora: las curvas de Bézier y las intersecciones rayo-esfera resuelven cuadráticas en cada fotograma
Cálculos de Ejemplo
Soluciones paso a paso para diferentes casos
Dos Raíces Reales
- Ecuación: x² - 5x + 6 = 0
- a=1, b=-5, c=6
- Δ = 25 - 24 = 1 > 0
- x = (5 ± 1) / 2
x₁ = 3, x₂ = 2
Raíces Complejas
- Ecuación: x² + 2x + 5 = 0
- a=1, b=2, c=5
- Δ = 4 - 20 = -16 < 0
- x = (-2 ± 4i) / 2
x₁ = -1+2i, x₂ = -1-2i
Preguntas Frecuentes
¿Qué nos dice el discriminante?
El discriminante (b² - 4ac) revela la naturaleza de las raíces: positivo significa dos raíces reales, cero significa una raíz repetida, negativo significa dos raíces complejas.
¿Puedo resolver cualquier cuadrática con esta fórmula?
¡Sí! La fórmula cuadrática funciona para cualquier ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 donde a ≠ 0, sin importar si las raíces son reales o complejas.
¿Qué es el vértice de una parábola?
El vértice es el punto de inflexión de la parábola. Para y = ax² + bx + c, el vértice está en x = -b/(2a). Es el punto mínimo si a > 0, máximo si a < 0.
¿Qué son las fórmulas de Vieta?
Las fórmulas de Vieta relacionan raíces con coeficientes: la suma de raíces es igual a -b/a, y el producto de raíces es igual a c/a. Esto funciona incluso para raíces complejas.
¿Cómo convierto a forma vértice?
Completa el cuadrado: y = a(x² + (b/a)x) + c se convierte en y = a(x + b/2a)² + (c - b²/4a). El vértice es (-b/2a, c - b²/4a).
¿Qué pasa si 'a' es igual a cero?
Si a = 0, ya no es cuadrática—se convierte en una ecuación lineal bx + c = 0, que tiene una solución: x = -c/b (si b ≠ 0).